Câu 2.28 trang 34 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :...

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

a. $y = {x^2} + x + 1;$

b. $y =  - 2{x^2} + x - 2;$

c. $y =  - {x^2} + 2x - 1;$

d. $y = {1 \over 2}{x^2} - x + 2.$

a. Ta có thể viết hàm số $y = {x^2} + x + 1$ dưới dạng

$y = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}$

Từ đó suy ra đồ thị của nó là một parabol hướng bề lõm lên trên và có đỉnh tại $\left( { - {1 \over 2};{3 \over 4}} \right)$ ; hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)$ , đồng biến trên khoảng $\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)$

và có giá trị nhỏ nhất bằng ${3 \over 4}$ khi $x =  - {1 \over 2}.$

Để vẽ đồ thị của hàm số này, ta lập bảng một vài giá trị của nó như sau

 Đồ thị của hàm số có dạng như hình sau:

b. Đưa hàm số đã cho về dạng $y =  - 2{\left( {x - {1 \over 4}} \right)^2} - {{15} \over 8}.$ Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;{1 \over 4}} \right)$ , nghịch biến trên khoảng $\left( {{1 \over 4}; + \infty } \right)$ và có giá trị lớn nhất bằng $- {{15} \over 8}$ khi $x = {1 \over 4}.$.

Đồ thị hàm số:

c. 

Hàm số $y =  - {x^2} + 2x - 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Đồ thị hàm số:

d. Hàm số $y = {1 \over 2}{x^2} - x + 2.$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$

Đồ thị hàm số: