Câu 2.7 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao: Do đó:...

Bằng cách xét tỉ số ${{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}}$, hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khoảng đã cho :

a. $y = {x^2} + 4x + 1$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$

b. $y =  - {x^2} + 2x + 5$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

c. $y = {x \over {x + 1}}$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$

d. $y = {{2x + 3} \over { - x + 2}}$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

a. ${{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 4$

Trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ ta có ${x_2} + {x_1} + 4 < 0$ nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right),$ ta có ${x_2} + {x_1} + 4 > 0$ nên hàm số đồng biến.

b. ${{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} =  - {x_2} - {x_1} + 2.$

Trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right),$ ta có $- {x_2} - {x_1} + 2 > 0$ nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right),$ ta có $- {x_2} - {x_1} + 2 < 0$ nên hàm số nghịch biến.

c. Với hai số phân biệt $x_1$ và $x_2$ thuộc tập xác định của hàm số, ta có :

$\eqalign{ & f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr & = {{{x_2} - {x_1}} \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}, \cr & {{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \cr}$

Do đó:

- Nếu $x_1 < -1$ và $x_2 < -1$ thì $\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0$ và ${1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,$ suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$

- Nếu $x_1 > -1$ và $x_2 > -1$ thì $\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0$ và ${1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,$ suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$

d. ${{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {7 \over {\left( { - {x_2} + 2} \right)\left( { - {x_1} + 2} \right)}}.$ Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)\,và\,\left( {2; + \infty } \right)$ .