Advertisements (Quảng cáo)
Bằng cách xét tỉ số \({{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} – {x_1}}}\), hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khoảng đã cho :
a. \(y = {x^2} + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( { – 2; + \infty } \right)\)
b. \(y = – {x^2} + 2x + 5\) trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
c. \(y = {x \over {x + 1}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)
d. \(y = {{2x + 3} \over { – x + 2}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
a. \({{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} – {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 4\)
Trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng \(\left( { – 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.
b. \({{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} – {x_1}}} = – {x_2} – {x_1} + 2.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right),\) ta có \( – {x_2} – {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \( – {x_2} – {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến.
c. Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có :
\(\eqalign{
& f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} – {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr
& = {{{x_2} – {x_1}} \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}, \cr
& {{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} – {x_1}}} = {1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \cr} \)
Do đó:
– Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\)
– Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)
d. \({{f\left( {{x_2}} \right) – f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} – {x_1}}} = {7 \over {\left( { – {x_2} + 2} \right)\left( { – {x_1} + 2} \right)}}.\) Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\,và\,\left( {2; + \infty } \right)\) .