Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau đây luôn dương:
a) \(\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 3;\)
b) \(\left( {\sqrt 2 - m} \right){x^2} + \left( {m - \sqrt 2 } \right)x + 2m + 3\sqrt 2 \).
a) Ta có
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 12\left( {{m^2} + 1} \right)\\ = - 11{m^2} - 2m - 11\\ = - \left( {11{m^2} + 2m + 11} \right)\end{array}\)
Và \(a = {m^2} + 1 > 0\)
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta = - \left( {11{m^2} + 2m + 11} \right) < 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow 11{m^2} + 2m + 11 > 0 \Leftrightarrow m \in R\).
b) Nếu \(km = \sqrt 2 \) dễ thấy biểu thức luôn dương với mọi \(x\).
Nếu \(m \ne \sqrt 2 \) thì biểu thức là tam thức có \(a = \sqrt 2 - m \ne 0\) và biệt thức \(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - \sqrt 2 } \right)^2} - 4\left( {\sqrt 2 - m} \right)\left( {2m + 3\sqrt 2 } \right)\\ = 9{m^2} + 2\sqrt 2 m - 22\end{array}\)
Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 - m > 0\\\Delta = 9{m^2} + 2\sqrt 2 m - 22 < 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Tam thức \(f\left( m \right) = 9{m^2} + 2\sqrt 2 m - 22\) có hai nghiệm \({m_1} = \dfrac{{ - 11\sqrt 2 }}{9},{m_2} = \sqrt 2 \).
Do đó \(f\left( m \right) < 0\) khi và chỉ khi \(\dfrac{{ - 11\sqrt 2 }}{9} < m < \sqrt 2 \).
Kết hợp với (*) suy ra \(\dfrac{{ - 11\sqrt 2 }}{9} < m < \sqrt 2 \) .