Câu 3.18 trang 61 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Hãy tính:...

Giả sử ${x_1},{x_2}$ là các nghiệm của phương trình $2{x^2} - 11x + 13 = 0.$

Hãy tính:

a. $x_1^3 + x_2^3$ ;

b. $x_1^4 + x_2^4$ ;

c. $x_1^4 - x_2^4$ ;

d. $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left( {1 - x_2^2} \right) + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left( {1 - x_1^2} \right)$

Theo định lí Vi-ét ta có ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}$ (dễ thấy hai nghiệm đều dương). Do đó :

a. $x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$

$= {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^3} - 3.\frac{{13}}{2}.\frac{{11}}{2} = \frac{{473}}{8}$

b. $x_1^4 + x_2^4 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2$

$= \frac{{3409}}{{16}}$

c. $x_1^4 - x_2^4 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]$

Ta có :

${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}$

$\Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.$

Giả sử ${x_1} < {x_2},$ ta có :

${x_1} - {x_2} =  - \frac{{\sqrt {17} }}{2}.$ Do đó $x_1^4 - x_2^4 =  - \frac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .$

Đối tượng trường hợp ${x_1} > {x_2},$ ta có $x_1^4 - x_2^4 = \frac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .$

d. $- \dfrac{{269}}{{26}}.$

Gợi ý.

$\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left( {1 - x_2^2} \right) + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left( {1 - x_1^2} \right) = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - 2{x_1}{x_2}$

$= \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} - 2{x_1}{x_2}.$