Câu 3.59 trang 68 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Từ đó suy ra hệ có nghiệm trong hai trường hợp sau :...

Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y = m}\\{\left( {3 - m} \right)x + 3y = 2}\end{array}} \right.$

a. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm của hệ.

b. Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xác đến hàng phần nghìn khi $m = \sqrt 5  - 2.$

a. Ta có:

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&{m + 1}\\{3 - m}&3\end{array}} \right| = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 3} \right);\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 1}\\2&3\end{array}} \right| = m - 2\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&m\\{3 - m}&2\end{array}} \right| = \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right).\end{array}$

Từ đó suy ra hệ có nghiệm trong hai trường hợp sau :

• D ≠ 0, tức là m ≠ 2 và m ≠ -3. Lúc này, nghiệm duy nhất của hệ là

$\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{1}{{m + 3}};\dfrac{{m + 1}}{{m + 3}}} \right).$        (1)

• D = D_x = D_y = 0, tức là m = 2. Lúc này hệ có vô số nghiệm (x ; y), trong đó $x = 2 – 3y$, và y ∈ R (tùy ý).

b. Khi $m = \sqrt 5  - 2$, hệ phương trình có một nghiệm duy nhất tính theo (1). Vậy

$\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 5  + 1}} \approx 0,309,\\y = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{{\sqrt 5  + 1}} \approx 0,382.\end{array}$