Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao: Mặt khác,...

Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao: Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có...

Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao. Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có. Bài tập Ôn tập chương IV – Bất đẳng thức và bất phương trình

Advertisements (Quảng cáo)

Giải các bất phương trình :

a. \(\sqrt {x – 1}  – \sqrt {x – 2}  > \sqrt {x – 3} \)

b. \(2x\left( {x – 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} – x + 1} \)

c. \(\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x – 1}}}  – \sqrt {\dfrac{{x – 1}}{{4x}}}  > \dfrac{3}{2}\)

d. \(\sqrt {x – \dfrac{1}{x}}  – \sqrt {1 – \dfrac{1}{x}}  > \dfrac{{x – 1}}{x}\)

:

a. \(x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).\).

Hướng dẫn: Phương trình viết thành

\(\sqrt {x – 1}  > \sqrt {x – 2}  + \sqrt {x – 3} .\)

Với điều kiện \(x ≥ 3\), bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương

\(\begin{array}{l}x – 1 > 2x – 5 + 2\sqrt {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 – x > 2\sqrt {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 – x \ge 0}\\{{{\left( {4 – x} \right)}^2} > 4\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}\)

b. \(x \in \left( { – \infty ,0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. đặt \(t = \sqrt {{x^2} – x + 1}  \ge 0.\)

Bất phương trình trở thành \(2{t^2} – t – 1 > 0.\)

c. \(x > 1.\)

d. Viết bất phương trình về dạng :

\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}}  – \sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}}  > \dfrac{{x – 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1}  – 1} \right) > \dfrac{{x – 1}}{x}.\)

Advertisements (Quảng cáo)

Điều kiện : \( – 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)

Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)

Khi đó \(\dfrac{{x – 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt {x + 1}  – 1 > \sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}}  \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  > 1 + \sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}} \)    (*)

+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1}  < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { – 1;0} \right).\)

+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :

\(\left( {x – 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}} .\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có

\(\left( {x – 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}} .\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x – 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy \(\left( {x – 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x – 1}}{x}}  \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là

\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)