Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao: Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có...

Giải các bất phương trình :

a. $\sqrt {x - 1}  - \sqrt {x - 2}  > \sqrt {x - 3}$

b. $2x\left( {x - 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1}$

c. $\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x - 1}}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{4x}}}  > \dfrac{3}{2}$

d. $\sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}$

:

a. $x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).$.

Hướng dẫn: Phương trình viết thành

$\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} .$

Với điều kiện $x ≥ 3$, bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương

$\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left( {4 - x} \right)}^2} > 4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}$

b. $x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).$ Hướng dẫn. đặt $t = \sqrt {{x^2} - x + 1}  \ge 0.$

Bất phương trình trở thành $2{t^2} - t - 1 > 0.$

c. $x > 1.$

d. Viết bất phương trình về dạng :

$\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}$ hay $\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.$

Điều kiện : $- 1 \le x < 0$ hoặc $x \ge 1.$

Nhận thấy $x = 1$ không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi $x ≠ 1.$

Khi đó $\dfrac{{x - 1}}{x} > 0$ nên bất phương trình đã cho tương đương với

$\sqrt {x + 1}  - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}$    (*)

+ Nếu $-1 ≤ x < 0$ thì $\sqrt {x + 1}  < 1$ suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng $\left[ { - 1;0} \right).$

+ Với $x > 1$, bình phương hai vế của (*) ta đi đến :

$\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .$

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có

$\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x - 1 = \dfrac{1}{x}$ tức là khi và chỉ khi $x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.$

Vậy $\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là

$\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)$