a. Cho hai số a, b (a ≠ b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(f\left( x \right) = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {x - b} \right)^2} + {\left( {x - c} \right)^2}\)
:
a.
\(\eqalign{& f\left( x \right) = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {x - - b} \right)^2} \cr & = 2{x^2} - 2\left( {{\rm{a}} + b} \right)x + {a^2} + {b^2} \cr & = 2{\left( {x - {{a + b} \over 2}} \right)^2} + {{{{\left( {{\rm{a}} - b} \right)}^2}} \over 2}. \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(f\left( x \right) \ge {{{{\left( {{\rm{a}} - b} \right)}^2}} \over 2}\) với mọi a, b ; đẳng thức xảy ra khi \({\left( {x - {{a + b} \over 2}} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = \dfrac{{a + b}}{2}.\) Vậy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{{{{\left( {{\rm{a}} - b} \right)}^2}}}{2}\) tại \(x = \dfrac{{a + b}}{2}.\)
Chú ý. Tránh sai lầm khi suy luận rằng \((x - a)^2 + (x - b)^2 \ge 0\) với mọi \(x\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là 0.
b. Hướng dẫn. Viết \(g(x)\) dưới dạng
\(3{\left( {x - {{a + b + c} \over 3}} \right)^2} + {{{{\left( {{\rm{a}} - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \over 3}.\)