Câu 4.38 trang 108 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Như sau :...

Bạn Nam đã giải bất phương trình

$\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1}  - \sqrt {{\rm{x}} + 1}  \ge x + 1$                  (1)

Như sau :

Điều kiện :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.$

Khi đó bất phương trình (1) có dạng

$\sqrt {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}  - \sqrt {{\rm{x}} + 1}  \ge x + 1$

Chia hai vế cho $\sqrt {{\rm{x}} + 1}  > 0,$ ta có

$\sqrt {{\rm{x}} - 1}  - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}}$

Vì x ≥ 1 nên $\sqrt {{\rm{x}} - 1}  < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,$ do đó $\sqrt {{\rm{x}} - 1}  - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1}$

Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.

Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ?

:

Nhận thấy rằng $x = -1$ là nghiệm của bất phương trình (1). Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :

Từ  $\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.$

(thấy ngay $x = -1$ là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (II)).

Suy luận đúng là

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.$