Câu 4.39 trang 108 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :...

Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2mx + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.$

:

Ta có:

$\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2m{x} + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {1 - 2m} \right)x \le 1 - 4{m^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x >  - 3.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Nếu $m < \dfrac{1}{2}$ thì $\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \le 1 + 2m,$ nên hệ (I) có nghiệm khi $- 3 < 1 + 2m,$ hay $m > -2$. Kết hợp với điều kiện $m < \dfrac{1}{2},$ ta có $- 2 < m < \dfrac{1}{2}.$

Nếu $m = \dfrac{1}{2}$ thì (1) có dạng $0.x ≤ 0$ (luôn đúng với mọi x ∈ R), nên hệ (I) luôn có nghiệm $x > -3.$

Nếu $m > \dfrac{1}{2}$ thì $(1) ⇔ x ≥ 1 + 2m$, nên hệ (I) luôn có nghiệm $x ≥ 1 + 2m.$

Vậy khi $m > -2$ thì hệ (I) luôn có nghiệm.