Câu 4.85 trang 116 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có :...

Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh rằng :

a. $\dfrac{{{a^6} + {b^9}}}{4} \ge 3{a^2}{b^3} - 16$

b. $a + b + 2{a^2} + 2{b^2} \ge 2ab + 2b\sqrt a  + 2a\sqrt b .$

:

a. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành :

${a^6} + {b^9} + 64 \ge 12{a^2}{b^3}.$

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có :

${a^6} + {b^9} + 64 \ge 3\sqrt[3]{{{a^6}{b^9}.64}} = 12{a^2}{b^3}.$

Vậy

${a^6} + {b^9} + 64 \ge 12{a^2}{b^3}$ hay $\dfrac{{{a^6} + {b^9}}}{4} \ge 3{a^2}{b^3} - 16.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, $b = \sqrt[3]{4}.$

b. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành :

${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - \sqrt a } \right)^2} + {\left( {a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = 0$ hoặc $a = b = 1$.

Điều này luôn luôn đúng.