Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh rằng :
a. \(\dfrac{{{a^6} + {b^9}}}{4} \ge 3{a^2}{b^3} - 16\)
b. \(a + b + 2{a^2} + 2{b^2} \ge 2ab + 2b\sqrt a + 2a\sqrt b .\)
:
a. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành :
\({a^6} + {b^9} + 64 \ge 12{a^2}{b^3}.\)
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có :
\({a^6} + {b^9} + 64 \ge 3\sqrt[3]{{{a^6}{b^9}.64}} = 12{a^2}{b^3}.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy
\({a^6} + {b^9} + 64 \ge 12{a^2}{b^3}\) hay \(\dfrac{{{a^6} + {b^9}}}{4} \ge 3{a^2}{b^3} - 16.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, \(b = \sqrt[3]{4}.\)
b. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành :
\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - \sqrt a } \right)^2} + {\left( {a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0\) hoặc \(a = b = 1\).
Điều này luôn luôn đúng.