Câu 4.87 trang 117 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì :...

Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì :

a. $\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc$

b. $\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c$

c. $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}$$\ge \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}$

:

a. Do $a, b, c > 0$ nên $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.$

Suy ra $\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = 9abc.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c.$

b. áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có

$\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} \ge 2b;$ $\dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2a;$ $\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} \ge 2c,$ nên

$\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c.$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

c. $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a;$ $\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b;$ $\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c.$

Do đó $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.$

Mặt khác từ bất đẳng thức ${\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy$ và $x, y > 0$ ta suy ra :

$\dfrac{{2ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{2};$ $\dfrac{{2bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{2};$ $\dfrac{{2ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{2}.$

Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được

$\dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c.$