Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì :
a. \(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\)
b. \(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c\)
c. \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\)\( \ge \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}\)
:
a. Do \(a, b, c > 0\) nên \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.\)
Suy ra \(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = 9abc.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)
b. áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có
\(\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} \ge 2b;\) \(\dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2a;\) \(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} \ge 2c,\) nên
Advertisements (Quảng cáo)
\(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c.\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
c. \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a;\) \(\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b;\) \(\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c.\)
Do đó \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)
Mặt khác từ bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) và \(x, y > 0\) ta suy ra :
\(\dfrac{{2ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{2};\) \(\dfrac{{2bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{2};\) \(\dfrac{{2ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{2}.\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được
\(\dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c.\)