Advertisements (Quảng cáo)
Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a. \(P = \left| {x + 1} \right| + \left| {2x + 5} \right| + \left| {3x – 18} \right|;\)
b. \(Q = \left| {x – 1} \right| + \left| {y – 2} \right| + \left| {z – 3} \right|\) với \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 2006.\)
:
a. Ta có thể viết
\(P = \left| {x + 1} \right| + \left| {2x + 5} \right| + \left| {18 – 3x} \right|\)
\(\ge \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {2x + 5} \right) + \left( {18 – 3x} \right)} \right| = 24\)
(áp dụng bất đẳng thức \(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| \ge \left| {a + b + c} \right|\)).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0}\\{2x + 5 \ge 0}\\{18 – 3x \ge 0}\end{array}} \right.\)
hoặc \(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \le 0}\\{2x + 5 \le 0}\\{18 – 3x \le 0.}\end{array}} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Hệ (I) có nghiệm \( – 1 \le x \le 6;\) Hệ (II) vô nghiệm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 24 khi \(-1 ≤ x ≤ 6.\)
b. áp dụng bất đẳng thức \(\left| {a – b} \right| \ge \left| a \right| – \left| b \right|\) ta được
\(\begin{array}{l}\left| {x – 1} \right| \ge \left| x \right| – 1,\\\left| {y – 2} \right| \ge \left| y \right| – 2,\\\left| {z – 3} \right| \ge \left| z \right| – 3.\end{array}\)
Do đó \(Q \ge \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| – 6 = 2006 – 6 = 2000.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x – 1 ≥ 0 ;\)\( y – 2 ≥ 0 ;\)\( z – 3 ≥ 0\) và \(x + y + z = 2006.\)
Chẳng hạn \(x = 2000 ; y = z = 3\) thì \(\left| {x – 1} \right| = 1999;\left| {y – 2} \right| = 1;\left| {z – 3} \right| = 0.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2000.