Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) \({m^2}x + 3{m^2} = 9\left( {x + m} \right);\)
b) \(m\left( {x + 6} \right) = x + 2{m^2} + 4;\)
c) \(\left| {mx + x - 1} \right| - \left| {x + 3} \right| = 0;\)
d) \(\left| {mx + 1} \right| = \left| {2x + m - 1} \right|;\)
e) \(\dfrac{{x + a}}{{a - x}} + \dfrac{{x - a}}{{a + x}} = \dfrac{a}{{{a^2} - {x^2}}}.\)
a) Ta có
\(\begin{array}{l}m{x^2} - 3{m^2} = 9\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 9} \right)x = 3m\left( {m + 3} \right)\end{array}\)
- Nếu \(m \ne \pm 3\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{3m}}{{m - 3}}\).
- Nếu \(m = - 3\) thì phương trình có dạng \(0.x = 0\), nghiệm đúng với mọi \(x \in R\). Tập nghiệm \(S = R.\)
- Nếu \(m = 3\) thì phương trình có dạng \(0.x = 36\) (vô lí). Tập nghiệm \(S = \emptyset \).
b) Biến đổi phương trình về dạng \(\left( {m - 1} \right)x = 2\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\).
Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\left( {m - 2} \right)\) khi \(m \ne 1\) và nghiệm đúng với mọi \(x \in R\) khi \(m = 1.\)
c) \(\left| {mx + x - 1} \right| = \left| {x - 3} \right|\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow mx + x - 1 = x + 3\) hoặc \(mx + x - 1 = - x - 3\)
*) \(mx + x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow mx = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
- Khi m = 0, (2) trở thành \(0.x = 4\) (vô lí) nên phương trình vô nghiệm.
- Khi \(m \ne 0\), (2) có một nghiệm\(x = \dfrac{4}{m}.\)
Advertisements (Quảng cáo)
*) \(mx + x - 1 = - x - 3 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x = - 2\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
- Khi \(m = - 2\); (3) trở thành \(0.x = - 2\) (vô lí) nên phương trình vô nghiệm.
- Khi \(m \ne - 2\); (3) có một nghiệm \(x = \dfrac{{ - 2}}{{m + 2}}.\)
Kết luận: Với \(m = 0\) phương trình có nghiệm \(x = - 1;\)
Với \(m = - 2\), phương trình có nghiệm \(x = - 2;\)
Với \(m \ne 0,m \ne 2\), phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{4}{m}\) và \(x = - \dfrac{2}{{m + 2}}\)
d) Với \(m = 2\) , tập nghiệm \(S = R\).
Với \(m = - 2\) hoặc \(m = - 1\), phương trình có nghiệm \(x = 1;\)
Với \(m \ne 2,m \ne - 2,m \ne - 1\), phương trình có nghiệm \(x = 1\) và \(x = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}\).
e) Điều kiện của phương trình \(x \ne \pm a\).
Ta đưa phương trình về dạng \(4ax = a\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Nếu \(a = 0\) thì (1) có dạng \(0.x = 0\), phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\).
Vậy phương trình đa cho nghiệm đúng với mọi \(x \in R*\).
• Nếu \(a \ne 0\) thì (1) có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4}.\) Xét điều kiện \(x \ne \pm a,\) ta có \(\dfrac{1}{4} = \pm a \Leftrightarrow a = \pm \dfrac{1}{4}.\) Vậy khi \(a \ne 0,a \ne \pm \dfrac{1}{4}\) thì \(x = \dfrac{1}{4}\) là nghiệm của phương trình đã cho.
Kết luận: Với \(a = 0\), tập nghiệm của phương trình là \(S = R*\)
Với \(a = \dfrac{1}{4}\) hoặc \(a = - \dfrac{1}{4}\), tập nghiệm của phương trình là \(S = \emptyset ;\)
Với \(a \ne 0,a \ne \pm \dfrac{1}{4}\), tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{4}} \right\}\).