Câu 9 trang 239 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Cho hệ phương trình:...

Cho hệ phương trình:

$\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 4} \right)x + ay = 2\left( {a + 1} \right)\\\left( {a + 2} \right)x + 2ay = 1.\end{array} \right.$

a) Giải và biện luận hệ (I) theo tham số a.

b) Khi hệ (I) có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$, hãy tìm hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào a.

a) Hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{4a + 3}}{{a + 6}};\dfrac{{ - \left( {2a + 5} \right)}}{{a + 6}}} \right)$ nếu $a \ne 0$ và $a \ne  - 6$.

Hệ vô nghiệm nếu $a =  - 6$; hệ vô số nghiệm $\left( {\dfrac{1}{2};y} \right)$ với y tùy ý nếu $a = 0$.

b) Khi $a \ne 0$ và $a \ne  - 6$, hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{4a + 3}}{{a + 6}};\dfrac{{ - \left( {2a + 5} \right)}}{{a + 6}}} \right)$.

Do $x = \dfrac{{4a + 3}}{{a + 6}}$ nên $a = \dfrac{{3 - 6x}}{{x - 4}}$.

 Do đó

$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - \left( {2a + 5} \right)}}{{a + 6}}\\ = \dfrac{{ - \left( {2.\dfrac{{3 - 6x}}{{x - 4}} + 5} \right)}}{{\dfrac{{3 - 6x}}{{x - 4}} + 6}}\\ = \dfrac{{x + 2}}{3}.\end{array}$

Vậy khi hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$ thì $y = \dfrac{{x + 2}}{3}$.