Bài 1.24 trang 33 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho hai tam giác ABC và A'B'C'...

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’}  = \overrightarrow 0$ thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

Gọ G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Ta có:

$\overrightarrow {AA’}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG’}  + \overrightarrow {G’A’}$

$\overrightarrow {BB’}  = \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG’}  + \overrightarrow {G’B’}$

$\overrightarrow {CC’}  = \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG’}  + \overrightarrow {G’C’}$

Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được

$\overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’}  = 3\overrightarrow {GG’}$

Do đó, nếu $\overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’}  = \overrightarrow 0$ thì $\overrightarrow {GG’}  = \overrightarrow 0$ hay G = G’

Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm thì $\overrightarrow {AA’}  + \overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {CC’}  = \overrightarrow 0$