Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao, Tìm hình...

Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao, Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sa...

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sa. Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 2. Phương trình tham số của đường thẳng

Advertisements (Quảng cáo)

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) 

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b) \(\Delta :{{x – 1} \over 3} = {y \over { – 4}}\)

c) \(\Delta :5x – 12y + 10 = 0.\)

a) \(\Delta :y = 1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta ‘\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n’} \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta ‘\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {3; – 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta ‘\) qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u \left( {3; – 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

Advertisements (Quảng cáo)

\(\eqalign{
& 3.\left( {x – 3} \right) – 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x – 4y – 17 = 0. \cr} \) 

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)  do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{{x – 1} \over 3} = {y \over { – 4}} \hfill \cr
3x – 4y – 17 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 4x – 3y + 4 = 0 \hfill \cr
3x – 4y – 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = – {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; – {{56} \over {25}}} \right).\)

c) \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {5; – 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta ‘\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n \left( {5; – 12} \right).\) 

Đường thẳng \(\Delta ‘\)  qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:

 \({{x – 3} \over 5} = {{y + 2} \over { – 12}} \Leftrightarrow  – 12x – 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
5x – 12x + 10 = 0 \hfill \cr
– 12x – 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)