Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao, Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sa...

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) 

$\Delta :\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right.$

b) $\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}$

c) $\Delta :5x - 12y + 10 = 0.$

a) $\Delta :y = 1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {0;1} \right).$

Đường thẳng $\Delta ‘$ vuông góc với $\Delta$ nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {n’} \left( {1;0} \right)$

Đường thẳng $\Delta ‘$ qua P và vuông góc với $\Delta$ có phương trình tổng quát là:

$1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.$

Gọi Q là hình chiếu của P trên $\Delta$ do đó Q là giao điểm của $\Delta$ và $\Delta ‘$ , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy Q(3, 1)

b) $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)$ . Đường thẳng $\Delta ‘$ qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)$ nên có phương trình tổng quát là:

$\eqalign{ & 3.\left( {x - 3} \right) - 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr}$ 

Gọi Q là hình chiếu của P trên $\Delta$  do đó Q là giao điểm của $\Delta$ và $\Delta ‘$ , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \matrix{ {{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr 3x - 4y - 17 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr 3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{67} \over {25}} \hfill \cr y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.$ 

Vậy $Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).$

c) $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).$

Đường thẳng $\Delta ‘$ vuông góc với $\Delta$ nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).$ 

Đường thẳng $\Delta ‘$  qua P và vuông góc với $\Delta$ có phương trình chính tắc là:

 ${{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow  - 12x - 5y + 26 = 0$

Gọi Q là hình chiếu của P trên $\Delta$ do đó Q là giao điểm của $\Delta$ và $\Delta ‘$ , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \matrix{ 5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr - 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{262} \over {169}} \hfill \cr y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.$

Vậy $Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).$