Bài 21 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.98)....

Một cạnh tam giác có trung điểm là $M(-1 ; 1)$. Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng $2x+6y+3=0$ và $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\end{array} \right.$. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh thứ ba của tam giác.

(h.98).

Cách 1:

Xét tam giác $ABC$ với phương trình các cạnh

$AB: 2x + 6y + 3 = 0 ,$

$AC: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\end{array} \right.$

Và $M(-1 ; 1)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó, ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{y_B} + {y_C} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\2{x_B} + 6{y_B} + 3 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\{x_C} = 2 - t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\\{y_C} = t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\end{array} \right.$

Thay $x_C, y_C$ từ (4), (5) vào (1) (2) và sau đó kết hợp với (3) ta được $t =  \dfrac{7}{4}$. Do đó $C = \left( { \dfrac{1}{4} ;  \dfrac{7}{4}} \right)$.

Suy  ra $\overrightarrow {MC}  = \left( { \dfrac{5}{4} ;  \dfrac{3}{4}} \right) =  \dfrac{1}{4}(5 ; 3)$. Phương trình của đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 5t’\\y = 1 + 3t’\end{array} \right.$.

Cách 2:

Từ phương trình của $AB, AC$, ta tìm được tọa độ của $A$ và suy ra tọa độ của $D$ ($D$ đối xứng với $A$ qua $M$). $M$ là trung điểm của $BC$ và $AD$ nên $ABCD$ là hình bình hành, do đó $DC //AB$. Từ đó viết được phương trình của $DC$ và tìm được tọa độ của điểm $C$. Cuối cùng viết được phương trình của $MC$ (hay phương trình của $BC$).