Cho hai điểm \(A(-1 ; 2), B(3 ; 1)\) và đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t.\end{array} \right.\)
Tìm tọa độ điểm \(C\) trên \(\Delta \) sao cho:
a) Tam giác \(ABC\) cân.
b) Tam giác \(ABC\) đều.
a) Phương trình của \(\Delta \) có dạng tổng quát là \(x-y+1=0\). Rõ ràng \(A, B \notin \Delta \).
Xét \(C(x ; x + 1) \in \Delta \).
\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)
\( \Leftrightarrow A{C^2} = A{B^2}\)
\(\Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2} = {4^2} + {1^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = 17 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\).
Có hai điểm thỏa mãn là
\({C_1} = \left( { \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} ; \dfrac{{\sqrt {30} + 2}}{2}} \right) ,\) \( {C_2} = \left( { - \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} , \dfrac{{2 - \sqrt {30} }}{2}} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Delta ABC\) cân tại \(B\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = B{A^2} \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {x^2} = 17\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x=4.\)
Có hai điểm thỏa mãn là \({C_3} = ( - 1 ; 0), {C_4} = (4 ; 5)\).
\(\Delta ABC\) cân tại \(C\)
\( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2} \)
\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2}\)
\(= {(x - 3)^2} + {x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{6}\).
Có một điểm thỏa mãn là \({C_5} = \left( { \dfrac{7}{6} ; \dfrac{{13}}{6}} \right)\).
b) \(\Delta ABC\) đều \(\left\{ \begin{array}{l}CA = CB\\CA = AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{6}\\x = \pm \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\end{array} \right.\) : hệ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại điểm \(C\) trên \(\Delta \) sao cho tam giác \(ABC\) đều.