Bài 25 trang 103 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Bài 2. Phương trình tham số của đường thẳng....

Cho hai điểm $A(-1 ; 2), B(3 ; 1)$ và đường thẳng $\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t.\end{array} \right.$

Tìm tọa độ điểm $C$ trên $\Delta$ sao cho:

a) Tam giác $ABC$ cân.

b) Tam giác $ABC$ đều.

a) Phương trình của $\Delta$ có dạng tổng quát là $x-y+1=0$. Rõ ràng $A, B  \notin \Delta$.

Xét $C(x ; x + 1)  \in \Delta$.

$\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Leftrightarrow   A{C^2} = A{B^2}$

$\Leftrightarrow    {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2} = {4^2} + {1^2}$

$\Leftrightarrow   2{x^2} + 2 = 17     \Leftrightarrow   x =  \pm  \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}$.

Có hai điểm thỏa mãn là

${C_1} = \left( { \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} ;  \dfrac{{\sqrt {30}  + 2}}{2}} \right) ,$ ${C_2} = \left( { -  \dfrac{{\sqrt {30} }}{2} ,  \dfrac{{2 - \sqrt {30} }}{2}} \right)$.

$\Delta ABC$ cân tại $B$

$\Leftrightarrow   B{C^2} = B{A^2}    \Leftrightarrow   {(x - 3)^2} + {x^2} = 17$ 

$\Leftrightarrow   {x^2} - 3x + 4 = 0    \Leftrightarrow   x =  - 1$ hoặc $x=4.$

Có hai điểm thỏa mãn là ${C_3} = ( - 1 ; 0),  {C_4} = (4 ; 5)$.

$\Delta ABC$ cân tại $C$

$\Leftrightarrow   C{A^2} = C{B^2}$

$\Leftrightarrow   {(x + 1)^2} + {(x - 1)^2}$

$= {(x - 3)^2} + {x^2}    \Leftrightarrow   x =  \dfrac{7}{6}$.

Có một điểm thỏa mãn là ${C_5} = \left( { \dfrac{7}{6} ;  \dfrac{{13}}{6}} \right)$.

b) $\Delta ABC$ đều  $\left\{ \begin{array}{l}CA = CB\\CA = AB\end{array} \right.    \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{7}{6}\\x =  \pm  \dfrac{{\sqrt {30} }}{2}\end{array} \right.$ : hệ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại điểm $C$ trên $\Delta$ sao cho tam giác $ABC$ đều.