Bài 23 trang 65 Hình học 10 Nâng cao: Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC....

Bài 23. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác không vuông $ABC$. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC,\,HBC,\,HCA,\,HAB$ bằng nhau.

Trường  hợp 1: Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn.

Gọi $R,\,{R_1}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC, HBC$.

Áp dụng định lí sin ta có

 ${{BC} \over {\sin A}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}$

Mà      $\widehat {BHC} + \widehat A = \widehat {{B’}H{C’}} + \widehat A = {180^0}$ (Vì $\widehat {BHC}$ và $\widehat {{B’}H{C’}}$ đối đỉnh)

$\Rightarrow \,\,\sin A = \sin \widehat {BHC}$

Do đó  $2R = 2{R_1}\,\, \Rightarrow \,\,R = {R_1}.$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCA, HAB$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Trường hợp 2: Tam giác $ABC$ có góc tù.

Ta có ${{BC} \over {\sin \widehat{BAC}}} = 2R\,;\,\,{{BC} \over {\sin \widehat {BHC}}} = 2{R_1}$

Mà   $\widehat {B’AC’} + \widehat {CHB} = {180^0}\,\, \Rightarrow \,\,\sin \widehat{BAC} =\sin \widehat{B’AC’}= \sin \widehat {CHB}$ (Vì  $\widehat{BAC}$ và $\widehat{B’AC’}$ đối đỉnh)

$\Rightarrow \,\,R = {R_1}$

Tương tự  ta chứng minh được bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $HCA, HAB$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.