Bài 4. Cho tam giác \(ABC\).
a) Tìm các điểm \(M\) và \(N\) sao cho
\(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\)
b) Với các điểm \(M, N\) ở câu a) , tìm các số \(p\) và \(q\) sao cho
\(\overrightarrow {MN} = p\overrightarrow {AB} + q\overrightarrow {AC} .\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \,\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BA} \,\) Do đó \(ABCM\) là hình bình hành.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 2\overrightarrow {NI} \) suy ra \(2\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NI} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow 0 \,\,\,\, \Rightarrow \,N\,\) là trung điểm của \(AI\).
b) Từ câu a), ta biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {AN} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} \).
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - \overrightarrow {AM} - (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} ) + (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} )=\overrightarrow 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \cr
& 2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - 2\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,4\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\Leftrightarrow \overrightarrow {AN}= {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) \cr
& \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = {1 \over 4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ) + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = {5 \over 4}\overrightarrow {AB} - {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \cr} \)
Vậy \(p = {5 \over 4}\,;\,q = - {3 \over 4}.\)