Bài 6 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm...

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A( - 1\,;3)\,\,B(4\,;2)\,\,C(3\,;5)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $\overrightarrow {AD}  =  - 3\overrightarrow {BC}$.

c) Tìm tọa độ điểm $E$ sao cho $O$ là trọng tâm tam giác $ABE$.

a)  Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = (4 + \,1\,;\,2 - 3) = (5\,;\, - 1) \cr & \overrightarrow {AC} = (3 + 1\,;\,5 - 3) = (4\,;\,2) \cr}$

Vì ${5 \over 4} \ne  - {1 \over 2}$ nên $\overrightarrow {AB} \,\,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương. Do đó, $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Giả sử $D\,({x_D}\,;\,{y_D})$. Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {BC} \,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{ {x_D} + 1 = 3 \hfill \cr {y_D} - 3 = - 9 \hfill \cr} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{ {x_D} = 2 \hfill \cr {y_D} = - 6 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \,\,D(2\,;\, - 6). \cr}$

C) Giả sử $E({x_E}\,;\,{y_E})$. Ta có

$\eqalign{ & \,\left\{ \matrix{ 0 = {1 \over 3}( - 1 + 4 + {x_E}) \hfill \cr 0 = {1 \over 3}(3 + 2 + {y_E}) \hfill \cr} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{ {x_E} = - 3 \hfill \cr {y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \,\,E( - 3\,;\, - 5). \cr}$