Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) |x2 – 5x + 4| = x2 + 6x + 5
b) |x – 1| = 2x – 1
c) |-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5
d) |x2 – x| ≤ |x2 – 1|
Đáp án
a) Điều kiện:
x2+ 6x + 5 ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 5 \hfill \cr
x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 11x = 1 \hfill \cr
2{x^2} + x + 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \)
Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy \(S = {\rm{\{ - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)
b) Điều kiện: \(x \ge {1 \over 2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(|x - 1| = 2x - 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr
x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\, \hfill \cr
x = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\)
c) Vì -x2 + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R nên:
|-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x2 – x + 1 ≤ 2x + 5
⇔ x2 – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4
Vậy S = [-1, 4]
d) Ta có:
|x2 – x| ≤ |x2 – 1|
⇔ (x2 – x)2 – (x2 – 1)2 ≤ 0
⇔ (1 – x)(2x2 – x – 1) ≤ 0 ⇔ (x – 1)2(2x + 1) ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\)
Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )\)