Bài 65 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các phương trình và bất phương trình sau:...

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| = x² + 6x + 5

b) |x – 1| = 2x – 1

c) |-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

d) |x² – x|  ≤ |x² – 1|

Đáp án

a) Điều kiện:

x²+ 6x + 5 ≥ 0 

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le - 5 \hfill \cr x \ge - 1 \hfill \cr} \right.$

Ta có:

$\eqalign{ & |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr {x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 11x = 1 \hfill \cr 2{x^2} + x + 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr}$

Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Vậy $S = {\rm{\{  - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}$

b) Điều kiện: $x \ge {1 \over 2}$

Ta có:

$|x - 1| = 2x - 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0\,\, \hfill \cr x = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.$

Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài

Vậy $S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}$

c) Vì -x² + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R nên:

|-x² + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x² – x + 1 ≤ 2x + 5

⇔ x² – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4

Vậy S = [-1, 4]

d) Ta có:

|x² – x|  ≤ |x² – 1|

⇔  (x² – x)² – (x² – 1)² ≤ 0

⇔ (1 – x)(2x² – x – 1) ≤  0 ⇔ (x – 1)²(2x + 1) ≥ 0

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr 2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}$

Vậy $S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )$