Bài 66 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1$

b) $\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2(x + 10)$

c) $\sqrt {{x^2} + 2x}  =  - 2{x^2} - 4x + 3$

d) $\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = {x^2} + 3x - 4$

Hướng dẫn:

c) Đặt $y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0$ ,

ta được phương trình: y = -2y² + 3

d) Vì (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 nên ta đặt $\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0$   ,

ta được phương trình y = y² - 6   

Đáp án

a) Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 10 \hfill \cr 2{x^2} + 4x - 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 1 \hfill \cr {x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3 \cr}$

Vậy $S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}$

b) Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 10 \hfill \cr 4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 10 \hfill \cr 21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr}$ 

Vậy S = {16}

c) Đặt $y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0$ , ta có phương trình:

$\eqalign{ & y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr}$

Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0

Nên: $y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2$

Vậy $S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}$

d) Đặt $\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0$ , suy ra:

x² + 3x = y² – 2

Ta có phương trình:

$y = {y^2} - 6 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = 3 \hfill \cr y = - 2 \hfill \cr} \right.$

Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên:

$\eqalign{ & y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr & \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr}$

Vậy: $S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}$