Advertisements (Quảng cáo)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x – 1} = x + 1\)
b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\)
c) \(\sqrt {{x^2} + 2x} = – 2{x^2} – 4x + 3\)
d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = {x^2} + 3x – 4\)
Hướng dẫn:
c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình: y = -2y2 + 3
d) Vì (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình y = y2 – 6
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} + 4x – 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 10 \hfill \cr
2{x^2} + 4x – 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = – 1 + \sqrt 3 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 10 \hfill \cr
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 10 \hfill \cr
21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr} \)
Vậy S = {16}
c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta có phương trình:
\(\eqalign{
& y = – 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y – 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1 \hfill \cr
y = – {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0
Nên: \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = – 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} – 1 – \sqrt 2 , – 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)
d) Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) , suy ra:
x2 + 3x = y2 – 2
Ta có phương trình:
\(y = {y^2} – 6 \Leftrightarrow {y^2} – y – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3 \hfill \cr
y = – 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên:
\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ – 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)
Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ – 3 – \sqrt {37} } \over 2};\,{{ – 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)