Câu 4.82 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao: Đối với mỗi giá trị của tham số m, hãy xác định số nghiệm của phương trình : ...

Đối với mỗi giá trị của tham số m, hãy xác định số nghiệm của phương trình : 

$\sqrt {2\left| x \right| - {x^2}}  = m$

:

Với $m < 0$ : Phương trình vô nghiệm

Với $m = 0$ : Phương trình có ba nghiệm $x = 0 ; x = ±2.$

Với $m > 0$ : Phương trình tương đương với

$\left| {{x^2}} \right| - 2\left| x \right| + {m^2} = 0.$      (1)

Xét phương trình ${y^2} - 2y + {m^2} = 0$           (2)

Có $\Delta ‘ = 1 - {m^2}.$

- Nếu $m > 1$ thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.

- Nếu $m = 1$ thì (2) có nghiệm $y = 1$ nên (1) có hai nghiệm $x = ±1.$

- Nếu $0 < m < 1$ thì (2) có hai nghiệm dương

${y_1} = 1 + \sqrt {1 - {m^2}} ,{y_2} = 1 - \sqrt {1 - {m^2}}$

Suy ra (1) có bốn nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}{x_{1,2}} =  \pm \left( {1 + \sqrt {1 - {m^2}} } \right)\\{x_{3,4}} =  \pm \left( {1 - \sqrt {1 - {m^2}} } \right).\end{array}$