Giải các bất phương trình sau :
a. \(\left( {{ {x}} - 3} \right)\sqrt {{{ {x}}^2} + 4} \le {x^2} - 9\)
b. \(\dfrac{{9{{ {x}}^2} - 4}}{{\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} }} \le 3{ {x}} + 2\)
:
a. Bất phương trình tương đương với \(\left( {x - 3} \right)\left[ {\sqrt {{x^2} + 4} - \left( {x + 3} \right)} \right] \le 0.\) Từ đó tập nghiệm cần tìm là hợp các tập nghiệm của hai hệ bất phương trình sau :
\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \ge 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4} \le x + 3}\end{array}} \right.\)
\(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \le 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4} \ge x + 3.\left( * \right)}\end{array}} \right.\)
Giải hệ (I) : \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{{x^2} + 4 \le {x^2} + 6x + 9}\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \ge - \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\) (1)
Giải hệ (II) : Ta xét hai trường hợp :
Advertisements (Quảng cáo)
- Trường hợp \(x ≤ -3\) : Dễ thấy mọi \(x ≤ -3\) là nghiệm.
- Trường hợp \(x > -3\) : Ta có
\(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow x \le - \dfrac{5}{6}.\) Vậy trong trường hợp này, hệ (II) có nghiệm là \( - 3 < x \le - \dfrac{5}{6}.\)
Do đó (II) \( \Leftrightarrow x \le - \dfrac{5}{6}.\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :
\(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).\)
b. \(S = \left[ { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\dfrac{5}{2}} \right).\)
Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}9{{ {x}}^2} - 4 \le \left( {3{ {x}} + 2} \right)\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} \\5{{ {x}}^2} - 1 > 0\end{array} \right.\)