Câu 4.81 trang 116 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :...

Giải các bất phương trình sau :

a. $\left( {{ {x}} - 3} \right)\sqrt {{{ {x}}^2} + 4}  \le {x^2} - 9$

b. $\dfrac{{9{{ {x}}^2} - 4}}{{\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} }} \le 3{ {x}} + 2$

:

a. Bất phương trình tương đương với $\left( {x - 3} \right)\left[ {\sqrt {{x^2} + 4}  - \left( {x + 3} \right)} \right] \le 0.$ Từ đó tập nghiệm cần tìm là hợp các tập nghiệm của hai hệ bất phương trình sau :

$\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \ge 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4}  \le x + 3}\end{array}} \right.$

$\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \le 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4}  \ge x + 3.\left( * \right)}\end{array}} \right.$

Giải hệ (I) : $\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{{x^2} + 4 \le {x^2} + 6x + 9}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \ge  - \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.$                        (1)

Giải hệ (II) : Ta xét hai trường hợp :

- Trường hợp $x ≤ -3$ : Dễ thấy mọi $x ≤ -3$ là nghiệm.

- Trường hợp $x > -3$ : Ta có

$\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} +  4 \ge {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow x \le  - \dfrac{5}{6}.$ Vậy trong trường hợp này, hệ (II) có nghiệm là $- 3 < x \le  - \dfrac{5}{6}.$

Do đó (II) $\Leftrightarrow x \le  - \dfrac{5}{6}.$            (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :

$S = \left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).$

b. $S = \left[ { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }};\dfrac{5}{2}} \right).$

Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với hệ

$\left\{ \begin{array}{l}9{{ {x}}^2} - 4 \le \left( {3{ {x}} + 2} \right)\sqrt {5{{ {x}}^2} - 1} \\5{{ {x}}^2} - 1 > 0\end{array} \right.$