Câu 13 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:...

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + {2 \over {x - 1}}$ với x > 1

Đáp án

Vì x > 1 nên x – 1 và ${2 \over {x - 1}}$ là hai số dương.

Do đó:

$f(x) = x + {2 \over {x + 1}} = 1 + (x - 1) + {2 \over {x - 1}} \ge 1 + 2\sqrt {(x - 1){2 \over {x - 1}}}  = 1 + 2\sqrt 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - 1 = {2 \over {x - 1}} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là $f(1 + \sqrt 2 ) = 1 + 2\sqrt 2$