Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:...

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

 ${\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd$

Đáp án

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\eqalign{ & {{{a + b + c + d} \over 4}} \cr&= {1 \over 2}({{a + b} \over 2} + {{c + d} \over 2}) \ge {1 \over 2}(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\cr& \ge \sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \root 4 \of {abcd} \cr}$

Bất đẳng thức cô si

$⇒ {\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4}\ge abcd$