Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² = 1 thì $|x + y|\,\, \le \sqrt 2$

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x² + y²  ≥ 9   

a) Ta có:

(x + y)² = x² + y² + 2xy ≤ x² + y² + x² + y² = 2

⇒ $|x + y|\,\, \le \sqrt 2$

b) Vì 4x – 3y = 15 $\Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5$

Do đó:

$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr & ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr}$

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

$\eqalign{ & {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr & \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr}$ 

b) Ta có:

$\eqalign{ & {15^2} = {(4x - 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr & \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr}$