Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao (sách cũ) Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh...

Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao, Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:. Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao - Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh rằng:

a) Nếu x2 + y2 = 1 thì \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x – 3y = 15 thì x2 + y2  ≥ 9   

a) Ta có:

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy ≤ x2 + y2 + x2 + y2 = 2

⇒ \(|x + y|\,\, \le \sqrt 2 \)

b) Vì 4x – 3y = 15 \( \Rightarrow y = {4 \over 3}x - 5\)

Do đó:

\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} = {x^2} + {({4 \over 3}x - 5)^2} \cr&= {x^2} + {{16} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 \cr
& ={{25} \over 9}{x^2} - {{40} \over 3}x + 25 = {({5 \over 3}x - 4)^2} + 9 \ge 9 \cr} \)

Chú ý: Có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {(x + y)^2} = {(x.1 + y.1)^2} \le ({x^2} + {y^2})({1^2} + {1^2}) = 2 \cr
& \Rightarrow |x + y| \le \sqrt 2 \cr} \) 

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {15^2} = {(4x - 3y)^2} \le ({4^2} + {3^2})({x^2} + {y^2}) \cr
& \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge {{225} \over {25}} = 9 \cr} \)

 

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 10 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: