Chứng minh rằng:. Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao - Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.
b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {a^2} + ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2a{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a + {b \over 2})^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0 \cr} \)
Ta thấy điều trên luôn đúng.
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {a^4} + {b^4} \ge {\rm{ }}{a^3}b + a{b^3} \cr&\Leftrightarrow {a^4} - {a^3}b - a{b^3} + {b^4} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {a^3}(a - b) - {b^3}(a - b) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - b)({a^3} - {b^3}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}({a^2} + ab + {b^2}) \ge 0 \cr} \)
Ta thấy rằng điều này luôn đúng.
Vậy a4 + b4 ≥ a3b + ab3 với mọi a, b