Bài 3 trang 45 hình học 10: Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ...

Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm $O$ có  đường kính $AB = 2R$. Gọi $M$ và $N$ là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $I$.

a) Chứng minh $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}$;

B) Hãy dùng câu a) để tính $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}$ theo $R$

Ta có :  $\left( {\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB}$

Mặt khác: $\overrightarrow {AI}  \bot \overrightarrow {MB}$ nên $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {MB}  = 0$ 

Từ đó: $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}$

Ta có: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BI} \left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {NA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA}$

Mặt khác: $\overrightarrow {BI}  \bot \overrightarrow {NA}$ nên $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {NA}  = 0$  

Từ đó: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}$

b)  

$\eqalign{ & \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr & = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right) \cr & = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr}$