Bài 7 trang 27 hình học lớp 10: Bài 4. Hệ trục tọa độ...

Bài 7. Các điểm $A'(-4; 1), B'(2;4), C'(2, -2)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA$ và $AB$ của tam giác $ABC$. Tính tọa độ đỉnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ trùng nhau.

Giả sử $A({x_A};{y_A}),B({x_B};{y_B}),C({x_C};{y_C})$

$A’$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên $-4 = \frac{1}{2} (x_B+ x_C)$

$\Rightarrow {x_B} + {x_C} =  - 8$                       (1)

Tương tự ta có ${x_A} + {x_C} = 4$       (2)

                       ${x_B} + {x_A} = 4$         (3)  

Giải hệ (1), (2) và (3) ta được:

       $\left\{ \matrix{ {x_A} = 8 \hfill \cr {x_B} = - 4 \hfill \cr x{}_C = - 4 \hfill \cr} \right.$

Tương tự ta tính được:

      $\left\{ \matrix{ {y_A} = 1 \hfill \cr {y_B} = - 5 \hfill \cr y{}_C = 7 \hfill \cr} \right.$

Gọi $G({x_G};y{}_G)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

Khi đó ta có:

$$\left\{ \matrix{ {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {{8 - 4 - 4} \over 3} = 0 \hfill \cr {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + y{}_C} \over 3} = {{1 - 5 + 7} \over 3} = {1} \hfill \cr} \right.$$  

Vậy $G(0;1)$  (*)

Gọi $G'({x_{G’}};y{}_{G’})$ là trong tâm của tam giác $A’B’C’$

Khi đó ta có:

$$\left\{ \matrix{ {x_{G’}} = {{{x_{A’}} + {x_{B’}} + {x_{C’}}} \over 3} = {{ - 4 + 2 + 2} \over 3} = 0 \hfill \cr {y_{G’}} = {{{y_{A’}} + {y_{B’}} + y{}_{C’}} \over 3} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = 1 \hfill \cr} \right.$$

Vậy $G'(0;1)$  (2*)

Từ (*) và (2*) ta thấy $G \equiv G’$

Vậy trọng tâm tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ trùng nhau.