Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất $\left| {{u_n} - \frac{n}{{n + 1}}} \right| \le \frac{1}{{{n^2}}}$...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất $\left| {{u_n} - \frac{n}{{n + 1}}} \right| \le \frac{1}{{{n^2}}}$. Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$

Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$ hay ${u_n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - \frac{n}{{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 1} \right) = 0$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1$