Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2, {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}}, n \ge 1$...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1$. Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.$

a) Tính ${v_1} + {v_2} + ... + {v_n}$ theo n.

b) Tính ${u_n}$ theo n.

c) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Ta có: ${v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.$ Do đó, ${v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)$

Mặt khác:

${v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} - {u_1} = {u_{n + 1}} - 2$

Vậy ${u_n} = 3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2$

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{5.3}^n} - 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 - \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5$