Bài 5.44 trang 89 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình vuông ${H_1}$ có cạnh bằng a...

Cho hình vuông ${H_1}$ có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông ${H_2}$ Lặp lại cách làm như trên với hình vuông ${H_2}$ để được hình vuông ${H_3}$.

Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông ${H_1},\,{H_2},\,{H_3},...,{H_n},...$ Gọi ${s_n}$ là diện tích của hình vuông ${H_n}$.

Tính lần lượt các cạnh hình vuông ${H_2}$, diện tích hình vuông ${H_2}$ rồi suy ra công thức tính diện tích ${H_1},\,{H_2},\,{H_3},...,{H_n},...$ Dùng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn để tính ra diện tích của hình vuông ${H_n}$.

Cạnh của hình vuông ${H_2}$ là ${a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{5}{8}} a.$

Khi đó ${s_2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{s_1}$.

Lý luận tương tự, ta có ${s_3} = \frac{5}{8}{s_2},...,{s_n} = \frac{5}{8}{s_{n - 1}} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{n - 1}}{a^2}$. Từ đó

$T = {s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ... = {a^2}\left[ {1 + \frac{5}{8} + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^{n - 1}} + ...} \right] = \frac{{8{a^2}}}{3}$.