Bài 9.12 trang 60 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hàm số \(f(x) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3}...

Cho hàm số $f(x) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)$. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$ và chứng tỏ $f’\left( x \right) = 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp

${\left( {{{\sin }^n}u} \right)^\prime } = u’.n{\sin ^{n - 1}}u.\cos u;$

${\left( {{{\cos }^n}u} \right)^\prime } = - u’.n{\cos ^{n - 1}}u.\sin u;$

Sử dụng công thức lượng giác

${\rm{sin}}\left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b$

${\rm{sin}}\left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b$

$f’\left( x \right) - 2\cos x\sin x - 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)$

$= - \sin \,2x - \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right) + \sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)$

$= - \sin \,2x + \sin \left( {\frac{\pi }{3} + 2x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)$

$= - \sin \,2x + 2\cos \frac{\pi }{3}\sin \,2x$

$= - \sin \,2x + \sin \,2x = 0$.