Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.29 trang 12 SBT Đại số nâng cao lớp 11

Câu 1.29 trang 12 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Câu 1.29 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. \(a\sin x + b\cos x = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos x\left( {x – \beta } \right)\). Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Một cách trình bày việc đưa biểu thức \(a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) về dạng \(C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) nhờ biểu thức toạn độ của tích vô hướng của hai vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ gắn với đường tròn lượng giác tâm O gốc A, hãy xét các điểm \(P\left( {a;b} \right),Q\left( {b;a} \right),M\left( {\cos x;\sin x} \right)\)

a) Từ công thức \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM}  = a\sin x + b\cos x\) và

                          \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM}  = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,QM} \right)\)

Hãy suy ra \(a\sin x + b\cos x = C\cos \left( {x – \beta  } \right)\) trong đó \(\beta \) là số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OQ} \right)\)

b) Từ câu a) suy ra rằng  \(a\sin x + b\cos x = C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) trong đó \(\alpha \) là số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OP} \right),C = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\)

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM}  = a\sin x + b\cos x\)

Quảng cáo

\(\eqalign{
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,OM} \right) \cr&= \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos (\left( {OA,OM} \right) – \left( {OA,OQ} \right)) \cr
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left( {\alpha – \beta } \right),\cr&\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\beta = \left( {OA,OQ} \right) \cr} \)

b) 

Hai điểm \(P\left( {a;b} \right)\) và \(Q\left( {b;a} \right)\) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy

\(\left( {OA,OQ} \right) = {\pi  \over 2} – \left( {OA,OP} \right),\) tức là

\(\beta  = {\pi  \over 2} – \alpha  + k2\pi ,k \in Z.\)

 Vậy

\(a\sin x + b\cos x = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos x\left( {x – \beta } \right)\)

\(= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\cos \left( {x – {\pi  \over 2} + \alpha } \right) = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\sin \left( {x + \alpha } \right)\)

sachaitap.com

Quảng cáo