a) Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số y=sinxy=sinx nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−1;1][−1;1]”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số y=asinx+bcosxy=asinx+bcosx (a, b là hằng số, a2+b2≠0a2+b2≠0) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−√a2+b2;√a2+b2][−√a2+b2;√a2+b2]
b) Xét hàm số y=sinx+cosx−1sinx−cosx+3y=sinx+cosx−1sinx−cosx+3. Viết đẳng thức đó thành
(y−1)sinx−(y+1)cosx=−3y−1,(y−1)sinx−(y+1)cosx=−3y−1, để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.
(y−1)2+(y+1)2≥(3y+1)2(y−1)2+(y+1)2≥(3y+1)2
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4y=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4
Giải
a) Ta có asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+α)asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+α) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−√a2+b2;√a2+b2][−√a2+b2;√a2+b2]
b) Do |sinx+cosx|≤√2|sinx+cosx|≤√2 nên sinx−cosx+3≠0sinx−cosx+3≠0 với mọi x. Vậy cặp số (x,y)(x,y) thỏa mãn y=sinx+cosx−1sinx−cosx+3y=sinx+cosx−1sinx−cosx+3 khi và chỉ khi:
(y−1)sinx−(y+1)cosx=−(3y+1)(y−1)sinx−(y+1)cosx=−(3y+1)
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn [−√(y−1)2+(y+1)2;√(y−1)2+(y+1)2].[−√(y−1)2+(y+1)2;√(y−1)2+(y+1)2]. Đẳng thức trên cho thấy −(3y+1) phải thuộc đoạn đó, tức là:
(3y+1)2≤(y−1)2+(y+1)2
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để
(y−1)sinx−(y+1)cosx=−(3y+1)
Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với
7y2+6y−1≤0 tức là −1≤y≤17
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 17 và -1.
c) y=cosx+2sinx+32cosx−sinx+4
Để ý rằng |2cosx−sinx|≤√5, nên 2cosx−sinx+4≠0 với mọi x. Vậy (x,y) thỏa mãn đẳng thức trên khi và chỉ khi (y+2)sinx+(1−2y)cosx=4y−3
Lập luận tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho
(4y−3)2≤(y+2)2+(1−2y)2
Bất đẳng thức tương đương với 11y2−24y+4≤0 tức là 211≤y≤2
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và 211