Advertisements (Quảng cáo)
a) Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số \(y = \sin x\) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\)”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số \(y = a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)
b) Xét hàm số \(y = {{\sin x + \cos x – 1} \over {\sin x – \cos x + 3}}\). Viết đẳng thức đó thành
\(\left( {y – 1} \right)\sin x – \left( {y + 1} \right)\cos x = – 3y – 1,\) để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.
\({\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}\)
Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x – \sin x + 4}}\)
Giải
a) Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)
b) Do \(\left| {\sin x + \cos x} \right| \le \sqrt 2 \) nên \(\sin x – \cos x + 3 \ne 0\) với mọi x. Vậy cặp số \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(y = {{\sin x + \cos x – 1} \over {\sin x – \cos x + 3}}\) khi và chỉ khi:
\(\left( {y – 1} \right)\sin x – \left( {y + 1} \right)\cos x = – \left( {3y + 1} \right)\)
Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – \sqrt {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].\) Đẳng thức trên cho thấy \( – \left( {3y + 1} \right)\) phải thuộc đoạn đó, tức là:
\({\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\)
Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left( {y – 1} \right)\sin x – \left( {y + 1} \right)\cos x = – \left( {3y + 1} \right)\)
Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với
\(7{y^2} + 6y – 1 \le 0\) tức là \( – 1 \le y \le {1 \over 7}\)
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({1 \over 7}\) và -1.
c) \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x – \sin x + 4}}\)
Để ý rằng \(\left| {2\cos x – \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\) nên \(2\cos x – \sin x + 4 \ne 0\) với mọi x. Vậy \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức trên khi và chỉ khi \(\left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 – 2y} \right)\cos x = 4y – 3\)
Lập luận tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho
\({\left( {4y – 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 – 2y} \right)^2}\)
Bất đẳng thức tương đương với \(11{y^2} – 24y + 4 \le 0\) tức là \({2 \over {11}} \le y \le 2\)
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\)