Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.31 trang 12 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Từ...

Câu 1.31 trang 12 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho....

Câu 1.31 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\). Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

a) Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số \(y = \sin x\) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\)”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số  \(y = a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

b) Xét hàm số \(y = {{\sin x + \cos x – 1} \over {\sin x – \cos x + 3}}\). Viết đẳng thức đó thành

\(\left( {y – 1} \right)\sin x – \left( {y + 1} \right)\cos x =  – 3y – 1,\) để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.

                                 \({\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}\)

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x – \sin x + 4}}\)

Giải

a) Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

b) Do \(\left| {\sin x + \cos x} \right| \le \sqrt 2 \) nên \(\sin x – \cos x + 3 \ne 0\) với mọi x. Vậy cặp số \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(y = {{\sin x + \cos x – 1} \over {\sin x – \cos x + 3}}\) khi và chỉ khi:

                                \(\left( {y – 1} \right)\sin x – \left( {y + 1} \right)\cos x =  – \left( {3y + 1} \right)\)

Quảng cáo

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { – \sqrt {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].\) Đẳng thức trên cho thấy \( – \left( {3y + 1} \right)\) phải thuộc đoạn đó, tức là:

                                \({\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\)

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

                                \(\left( {y – 1} \right)\sin x – \left( {y + 1} \right)\cos x =  – \left( {3y + 1} \right)\)

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

                                \(7{y^2} + 6y – 1 \le 0\) tức là \( – 1 \le y \le {1 \over 7}\)

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({1 \over 7}\) và -1.

c) \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x – \sin x + 4}}\)

Để ý rằng \(\left| {2\cos x – \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\) nên \(2\cos x – \sin x + 4 \ne 0\) với mọi x. Vậy \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức trên khi và chỉ khi \(\left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 – 2y} \right)\cos x = 4y – 3\)

Lập luận tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho

                                \({\left( {4y – 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 – 2y} \right)^2}\)

Bất đẳng thức tương đương với \(11{y^2} – 24y + 4 \le 0\) tức là \({2 \over {11}} \le y \le 2\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\)

Quảng cáo