Câu 1.32 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao              ...

Giải các phương trình sau:

a) $4\sin x - 3\cos x = 5$ 

b) $3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}$

c) $3\sin 2x + 2\cos 2x = 3$                                       

d) $2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x$

Giải              

a) $x = \beta  + {\pi  \over 2} + k2\pi ,$với $\cos \alpha  = {4 \over 5}$ và $\sin \alpha  = {3 \over 5}$

b) ${3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.$ Chia hai vế của phương trình cho $\sqrt {21}$, ta được phương trình

                                ${2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}$

Hiển nhiên có thể chọn $\alpha$ sao cho $\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }}$ và  $\sin \alpha  = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}}$ và chọn được $\beta$ sao cho $\cos \beta  = {9 \over {2\sqrt {21} }}.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành $\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta ;$ nó có nghiệm $x = \alpha  \pm \beta  + k2\pi$ (trong đó $\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha  = 2\sqrt {{1 \over 7}}$ và $\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}$) đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.

c) 

Chia hai vế cho $\sqrt {13;}$ chọn $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha  = {9 \over {\sqrt {13} }},\sin \beta  = {2 \over {\sqrt {13} }}.$ Bài toán dẫn đến phương trình $\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {{\pi  \over 2} - \alpha } \right)$

Suy ra: $x = {\pi  \over 4} - \alpha  + k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi$

d) 

Phương trình được viết thành ${2 \over {\sqrt {13} }}\sin 2x + {3 \over {\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x$ hay $\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x$

Suy ra: $x = {\pi  \over {12}} + {{k\pi } \over 6},x = {{\pi  - \alpha } \over {16}} + k{\pi  \over 8},$ trong đó $\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {13} }}.$