Giải các phương trình sau:
a) \(4\sin x - 3\cos x = 5\)
b) \(3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}\)
c) \(3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\)
d) \(2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\)
Giải
a) \(x = \beta + {\pi \over 2} + k2\pi ,\)với \(\cos \alpha = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha = {3 \over 5}\)
b) \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\) Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình
\({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Hiển nhiên có thể chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và \(\sin \alpha = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\) Khi đó phương trình đã cho trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta ;\) nó có nghiệm \(x = \alpha \pm \beta + k2\pi \) (trong đó \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)) đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.
c)
Chia hai vế cho \(\sqrt {13;} \) chọn \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = {9 \over {\sqrt {13} }},\sin \beta = {2 \over {\sqrt {13} }}.\) Bài toán dẫn đến phương trình \(\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right)\)
Suy ra: \(x = {\pi \over 4} - \alpha + k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi \)
d)
Phương trình được viết thành \({2 \over {\sqrt {13} }}\sin 2x + {3 \over {\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\) hay \(\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\)
Suy ra: \(x = {\pi \over {12}} + {{k\pi } \over 6},x = {{\pi - \alpha } \over {16}} + k{\pi \over 8},\) trong đó \(\cos \alpha = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {13} }}.\)