Câu 1.8 trang 8 SBT Đại số nâng cao lớp 11  Giải...

Chứng minh rằng số $\pi$ là số dương T nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện: Với mọi $x \in {D_1}\backslash \left\{ {{\pi  \over 2} + k\pi |k \in Z} \right\}$ ta có $x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}$ và $\tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x$ (tức là hàm số $y= \tan x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$)

 Giải

T là số thỏa mãn $\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}$ và $\tan (x + T) = \tan x$.

Với $x = 0$ ta được $\tan T = \tan 0 = 0$ , suy ra $T = k\pi ,k$ là số nguyên . Rõ ràng với mọi số nguyên $k$ , số $T = k\pi$ thỏa mãn $\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}$ và $\tan (x + T) = \tan x$. Trong các số $k\pi ,k \in Z$ số dương nhỏ nhất là $\pi$ . Vậy hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.