Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:
a) \(y = {1 \over {\sin x}}\)
b) \(y = {1 \over {\cos x}}\)
c)\(y = {\tan ^2}x\)
Giải
a) \(y = {1 \over {\sin x}}\) là hàm số xác định trên \({D_2}\). Cần tìm số T thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x – T \in {D_2},{1 \over {\sin (x + T)}} = {1 \over {\sin x}}\) . Xét \(x = {\pi \over 2} \in {D_2}\), ta được \(\sin \left( {{\pi \over 2} + T} \right) = 1,\) từ đó \({\pi \over 2} + T = {\pi \over 2} + k2\pi ,\) tức \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên.
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn: \(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x – T \in {D_2}\) và \({1 \over {\sin \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\sin x}}\). Vậy hàm số \(y = {1 \over {\sin x}}\) là một hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số lẻ.
b) \(y = {1 \over {\cos x}}\) là hàm số xác định trên \({D_1}\). Cần tìm số T thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x – T \in {D_1}\), \({1 \over {\cos \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\cos x}}\). Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \(\cos T = 1\), từ đó \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn các điều kiện đề ra. Vậy hàm số \(y = {1 \over {\cos x}}\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số chẵn.
c) \(y = {\tan ^2}x\), cần tìm số T thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x – T \in {D_1}\), \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}x.\) Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \({\tan ^2}T = 0,\) từ đó \(\tan T = 0,\) suy ra \(\tan T = k\pi \), k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k\pi \) thỏa mãn:
\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x – T \in {D_1}\) và \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) = {\tan ^2}x.\) Vậy hàm số \({\tan ^2}x\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \).