Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.10 trang 8 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Chứng...

Câu 1.10 trang 8 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:...

Câu 1.10 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. c)\(y = {\tan ^2}x\). Bài 1: Các hàm số lượng giác

Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:

a) \(y = {1 \over {\sin x}}\)                                         

b) \(y = {1 \over {\cos x}}\)                             

c)\(y = {\tan ^2}x\)

Giải

Quảng cáo

a) \(y = {1 \over {\sin x}}\) là hàm số xác định trên \({D_2}\). Cần tìm số T thỏa mãn:

\(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x – T \in {D_2},{1 \over {\sin (x + T)}} = {1 \over {\sin x}}\) . Xét \(x = {\pi  \over 2} \in {D_2}\), ta được \(\sin \left( {{\pi  \over 2} + T} \right) = 1,\) từ đó \({\pi  \over 2} + T = {\pi  \over 2} + k2\pi ,\) tức \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên.

Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn: \(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x – T \in {D_2}\) và \({1 \over {\sin \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\sin x}}\). Vậy hàm số  \(y = {1 \over {\sin x}}\) là một hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số lẻ.

b)  \(y = {1 \over {\cos x}}\) là hàm số xác định trên \({D_1}\). Cần tìm số T thỏa mãn:

 \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x – T \in {D_1}\), \({1 \over {\cos \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\cos x}}\). Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \(\cos T = 1\), từ đó \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số  \(T = k2\pi \) thỏa mãn các điều kiện đề ra. Vậy hàm số \(y = {1 \over {\cos x}}\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số chẵn.

c)  \(y = {\tan ^2}x\), cần tìm số T thỏa mãn:

\(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x – T \in {D_1}\), \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}x.\) Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \({\tan ^2}T = 0,\) từ đó \(\tan T = 0,\) suy ra \(\tan T = k\pi \), k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k\pi \) thỏa mãn:

 \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x – T \in {D_1}\) và \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) = {\tan ^2}x.\) Vậy hàm số \({\tan ^2}x\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Quảng cáo