Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số:
a) y=1sinx
b) y=1cosx
c)y=tan2x
Giải
a) y=1sinx là hàm số xác định trên D2. Cần tìm số T thỏa mãn:
∀x∈D2,x+T∈D2,x−T∈D2,1sin(x+T)=1sinx . Xét x=π2∈D2, ta được sin(π2+T)=1, từ đó π2+T=π2+k2π, tức T=k2π, k là số nguyên.
Advertisements (Quảng cáo)
Rõ ràng với mọi số nguyên k, số T=k2π thỏa mãn: ∀x∈D2,x+T∈D2,x−T∈D2 và 1sin(x+T)=1sinx. Vậy hàm số y=1sinx là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π. Đó là một hàm số lẻ.
b) y=1cosx là hàm số xác định trên D1. Cần tìm số T thỏa mãn:
∀x∈D1,x+T∈D1,x−T∈D1, 1cos(x+T)=1cosx. Xét x=0∈D1, ta được cosT=1, từ đó T=k2π, k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số T=k2π thỏa mãn các điều kiện đề ra. Vậy hàm số y=1cosx là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. Đó là một hàm số chẵn.
c) y=tan2x, cần tìm số T thỏa mãn:
∀x∈D1,x+T∈D1,x−T∈D1, tan2(x+T)=tan2x. Xét x=0∈D1, ta được tan2T=0, từ đó tanT=0, suy ra tanT=kπ, k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số T=kπ thỏa mãn:
∀x∈D1,x+T∈D1,x−T∈D1 và tan2(x+T)=tan2(x+kπ)=tan2x. Vậy hàm số tan2x là một hàm số tuần hoàn với chu kì π.