Câu 8 trang 114 SBT Hình 11 nâng cao: Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD...

Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính độ dài MN.

b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.

Đặt $\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c$ .

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = {1 \over 2}{m^2}$  và ${\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}$

a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên

$\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {BC} } \right)$

hay $\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - b} \right)$

Vậy

Tức là $MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}$

b) Ta có

$\eqalign{  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow c  - {{\overrightarrow b }^2}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right) = 0 \cr}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°

Ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.

Ta có :

Tức là:

$\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {1 \over 2}{m^2}$

Từ đó $\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.