Câu 22 trang 8 SBT Hình 11 Nâng cao: Chứng minh rằng chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành...

22. Trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho hai tam giác bằng nhau ABC và A’B’C’ $\left( {AB = A’B’,BC = B’C’,AC = A’C’} \right)$. 

Chứng minh rằng chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành của chúng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Theo bài toán trên ta có hai phép đối xứng trục ${D_1}$ và ${D_2}$ mà hợp thành của chúng biến A thành A’ và biến B thành B’. Phép hợp thành đó là phép dời hình nên nó biến điểm C thành điểm $C_1$ sao cho hai tam giác ABC và $A’B'{C_1}$ bằng nhau. Vậy ${C_1}$ phải trùng C’ hoặc đối xứng với C’ qua đường thẳng A’B’. Nếu ${C_1}$ trùng với C’ thì phép hợp thành nói trên là phép cần tìm.

Nếu ${C_1}$ khác với C’ thì vì hai tam giác $A’B'{C_1}$ và A’B’C’ bằng nhau nên phép đối xứng ${Đ_c}$ với c là đường thẳng A’B’ sẽ biến tam giác $A’B'{C_1}$ thành tam giác A‘B’C’. Vậy hợp thành của ba phép ${Đ_a},\,{Đ_b}$ và ${Đ_c}$ là phép dời hình cần tìm.