Câu 20 trang 8 SBT Hình 11 Nâng cao: Chứng minh rằng: Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các...

20. Trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

 Chứng minh rằng:

a) Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

b) Mỗi phép tịnh tiến đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song bằng nhiều cách.

c) Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

d) Hơp thành của một số lẻ các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục.

e) Cho phép đối xứng trục ${Đ_a}$ qua đường thẳng a và phép tịnh tiến T theo vecto $\overrightarrow v$ vuông góc với a. Chứng tỏ rằng hợp thành của ${Đ_a}$ và T là phép đối xứng trục, hợp thành của T và ${Đ_a}$ cũng là phép đối xứng trục.

a) Giả sử ${Đ_a},\,{Đ_b}$ là các phép đối xứng trục có trục lần lượt là a, b mà a//b và F là hợp thành của ${Đ_a}$ và ${Đ_b}$. Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên a, b sao cho $AB \bot a.$ Với điểm M bất kì, ${Đ_a}$ biến M thành ${M_1}$ và ${Đ_b}$ biến ${M_1}$ thành ${M_2}$. Nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của $M{M_1}$ và ${M_1}{M_2}$ thì:

$\eqalign{ & \overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = 2\overrightarrow {HK} = 2\overrightarrow {AB} \cr}$

Vì phép hợp thành F biến M  thành ${M_2}$ thành $\overrightarrow {M{M_2}}  = 2\overrightarrow {AB}$ nên F là phép tịnh tiến theo vecto $2\overrightarrow {AB}$.

b) Giả sử T là phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow u$. Lấy một đường thẳng a nào đó vuông góc với $\overrightarrow u$ và đường thẳng b là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo ${1 \over 2}\overrightarrow u$ thì theo câu a) phép tịnh tiến T là hợp thành của phép đối xứng trục ${Đ_a}$ và phép đối xứng trục ${Đ_b}$. Vì có nhiều cách chọn đường thẳng a, nên có nhiều phép đối xứng ${Đ_a}$ và ${Đ_b}$ có hợp thành là T.

c) Hợp thành của hai phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến. Vì vậy, hợp thành của 2n phép đối xứng trục (có trục đối xứng song song) là hợp thành của n phép tịnh tiến, do đó cũng là phép tịnh tiến.

d) Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục. Gọi phép đối xứng trục thứ nhất là ${Đ_a}$ (có trục là đường thẳng a), 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép tịnh tiến T. Ta có thể xem T là hợp thành của hai phép đối xứng mà phép thứ nhất là ${Đ_a}$ và phép thứ hai là ${Đ_b}$. Vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: ${Đ_a}$, ${Đ_a}$ và ${Đ_b}$. Nhưng vì hợp thành của ${Đ_a}$ và ${Đ_a}$ là phép đồng nhất e nên F chính là phép đối xứng ${Đ_b}$.

e) Có thể xem phép tịnh tiến T là hợp thành của hai phép đối xứng trục ${Đ_b}$ và ${Đ_c}$. Vì vecto tịnh tiến vuông góc với a nên a // b // c. Do đó, ta được hợp thành của ba phép đối xứng có trục song song. Vậy theo kết quả câu d) ta được một phép đối xứng trục.