Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:
a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}}\)
b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}}\)
c) Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{n^2}}}\)
a) Dễ thấy \({u_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa ta có
\({{{u_n}} \over {{u_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}} \times {{{2^{n + 2}}} \over {{3^{n + 1}}}} = {2 \over 3} < 1\)
Vì thế \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng.
b) Dễ thấy \({v_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa, xét tỉ số \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}}\) ta có
\({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}} \times {{{2^{n + 1}}} \over {\sqrt {n + 1} }}={{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} }} > 1\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)
Vì thế, \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số giảm.
Advertisements (Quảng cáo)
c) Dễ thấy \({a_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) ta có
\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{n^2}}} \times {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {{3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}{\left( {1 + {1 \over n}} \right)^2}\,\,\,\)
Từ đó suy ra
\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} < 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} < \sqrt 3 \Leftrightarrow n > {1 \over {\sqrt 3 - 1}} \Leftrightarrow n \ge 2\)
\((do\,\,n \in N^*)\)
\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} > 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} > \sqrt 3 \Leftrightarrow n < {1 \over {\sqrt 3 - 1}} \Leftrightarrow n = 1\)
\((do\,\,n \in N^*)\)
Như vậy, ta có \({a_1} > {a_2}\) và \({a_2} < {a_3} < ... < {a_n} < {a_{n + 1}} < ...\)
Vì thế, \(\left( {{a_n}} \right)\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.