Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.16 trang 87 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Hãy...

Câu 3.16 trang 87 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:...

Câu 3.16 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.             \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}} \times {{{2^{n + 1}}} \over {\sqrt {n + 1} }}={{2\sqrt n } \over {\sqrt. Bài 2. Dãy số

Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}}\)

b) Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}}\)

c) Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{3^n}} \over {{n^2}}}\)

a) Dễ thấy \({u_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa ta có

\({{{u_n}} \over {{u_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{2^{n + 1}}}} \times {{{2^{n + 2}}} \over {{3^{n + 1}}}} = {2 \over 3} < 1\)

Vì thế \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số tăng.

b) Dễ thấy \({v_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Hơn nữa, xét tỉ số \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}}\) ta có

Quảng cáo

            \({{{v_n}} \over {{v_{n + 1}}}} = {{\sqrt n } \over {{2^n}}} \times {{{2^{n + 1}}} \over {\sqrt {n + 1} }}={{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} }} > 1\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Vì thế, \(\left( {{v_n}} \right)\) là một dãy số giảm.

c) Dễ thấy \({a_n} > 0\) với mọi \(n \in N^*.\) Xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) ta có

            \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{{3^n}} \over {{n^2}}} \times {{{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {{3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}{\left( {1 + {1 \over n}} \right)^2}\,\,\,\)

Từ đó suy ra

\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} < 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} < \sqrt 3  \Leftrightarrow n > {1 \over {\sqrt 3  – 1}} \Leftrightarrow n \ge 2\)

\((do\,\,n \in N^*)\)

\({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} > 1 \Leftrightarrow 1 + {1 \over n} > \sqrt 3  \Leftrightarrow n < {1 \over {\sqrt 3  – 1}} \Leftrightarrow n = 1\)

\((do\,\,n \in N^*)\)

Như vậy, ta có \({a_1} > {a_2}\) và \({a_2} < {a_3} < … < {a_n} < {a_{n + 1}} < …\)

Vì thế, \(\left( {{a_n}} \right)\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Quảng cáo