Câu 3.17 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:...

Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

a) Dãy số $({a_n})$ với ${a_n} = {{3{n^2} - 2n + 1} \over {n + 1}};$

 b) Dãy số $({b_n})$ với ${b_n} = {{{n^2} + n + 1} \over {2{n^2} + 1}}.$

a) Viết lại công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số $({a_n})$ dưới dạng

${a_n} = 3n - 5 + {6 \over {n + 1}}$ 

Từ đó, ta có với mọi $n \ge 1:$

${a_{n + 1}} - {a_n} = 3 + 6.\left( {{1 \over {n + 2}} - {1 \over {n + 1}}} \right) = {{3.\left( {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) - 2} \right)} \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$= {{3n\left( {n + 3} \right)} \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0$

Vì thế, $({a_n})$ là một dãy số tăng.