Câu 3.54 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho cấp số nhân...

Cho cấp số nhân $({u_n})$ có $6{u_2} + {u_5} = 1$ và $3{u_3} + 2{u_4} =  - 1.$ Hãy tìm số hạng đầu tổng quát của cấp số nhân đó.

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có

$\left\{ \matrix{ 6{u_2} + {u_5} = 1 \hfill \cr 3{u_3} + 2{u_4} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.(6q + {q^4}) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,(1) \hfill \cr {u_1}.(3{q^2} + 2{q^3}) = - 1\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.$

Dễ thấy, ${u_1}.q \ne 0$. Do đó cộng theo vế (1) và (2) ta được

${q^3} + 2{q^2} + 3q + 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {q + 2} \right)\left( {{q^2} + 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow q =  - 2.$

Từ đó suy ra

                           ${u_1} = {1 \over 4}$  và $q =  - 2.$

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là :

                            ${u_n} = {1 \over 4} \times {( - 2)^{n - 1}}.$