Cho dãy số \(({u_n})\) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là \({S_n}\), được tính theo công thức sau :
\({S_n} = {{n(7 - 3n)} \over 2}.\)
a) Hãy tính \({u_1},{u_2}\) và \({u_3}.\)
b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).
c) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.
a) Ta có \({u_1} = {S_1} = 2,{u_2} = \left( {{u_1} + {u_2}} \right) - {u_1} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1} = 1 - 2 = - 1,\)
\({u_3} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2} = - 4.\)
b) Đặt \({S_0} = 0,\) ta có số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:
\({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{n\left( {7 - 3n} \right)} \over 2} - {{\left( {n - 1} \right)\left[ {7 - 3\left( {n - 1} \right)} \right]} \over 2} \)
\(= 5 - 3n.\)
c) Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 3\left( {n + 1} \right) - 5 + 3n = - 3\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({u_n})\) là một cấp số cộng với công sai bằng \( - 3\).