Câu 3.71 trang 96 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho dãy số...

Cho dãy số $({u_n})$ mà tổng n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là ${S_n}$, được tính theo công thức sau :

                         ${S_n} = {{n(7 - 3n)} \over 2}.$

a) Hãy tính ${u_1},{u_2}$  và ${u_3}.$

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $({u_n})$.

c) Chứng minh rằng dãy số $({u_n})$ là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

a) Ta có ${u_1} = {S_1} = 2,{u_2} = \left( {{u_1} + {u_2}} \right) - {u_1}$

$= {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1} = 1 - 2 =  - 1,$

 ${u_3} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2} =  - 4.$

b) Đặt ${S_0} = 0,$ ta có số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

${u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{n\left( {7 - 3n} \right)} \over 2} - {{\left( {n - 1} \right)\left[ {7 - 3\left( {n - 1} \right)} \right]} \over 2}$

      $= 5 - 3n.$

c) Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 3\left( {n + 1} \right) - 5 + 3n =  - 3$ với mọi $n \ge 1.$ Vì thế, $({u_n})$ là một cấp số cộng với công sai bằng $- 3$.