Câu 3.72 trang 97 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng cao: Trong mặt phẳng tọa độ...

Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol $y = {x^2}$ lấy dãy các điểm $({A_n})$ và $({B_n})$ sao cho điểm ${A_1}$ có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng ${A_n}{B_n}$ có hệ số góc bằng $- {1 \over 5}$ và đường thẳng ${B_n}{A_{n + 1}}$ có hệ số góc bằng ${1 \over 4}.$ (h.3.2).

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu ${a_n}$ và ${b_n}$ tương ứng với hoành độ của ${A_n}$ và ${B_n}$.

Chứng minh rằng các dãy số $({a_n})$ và$({b_n})$ là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.

Với mỗi $n \ge 1,$ do ${A_n}$ và ${B_n}$  nằm trên parabol $y = {x^2}$ nên  ${A_n} = \left( {{a_n};a_n^2} \right)$ và ${B_n} = \left( {{b_n};b_n^2} \right)$. Từ đó:

- Do đường thẳng ${A_n}{B_n}$ có hệ số góc bằng $- {1 \over 5}$ nên ${a_n} + {b_n} =  - {1 \over 5}$ với mọi $n \ge 1;$

- Do đường thẳng ${B_n}{A_{n + 1}}$ có hệ số góc bằng ${1 \over 4}$ nên ${a_{n + 1}} + {b_n} = {1 \over 4}$ với mọi $n \ge 1;$

Suy ra với mọi $n \ge 1,$ ta có

           ${a_{n + 1}} - {a_n} = {9 \over {20}}$ và ${b_{n + 1}} - {b_n} =  - {9 \over {20}}.$

Vì thế

- Dãy số $({a_n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${a_1}$ và công sai $d = {9 \over {20}};$

- Dãy số $({b_n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${b_1} =  - {1 \over 5} - {a_1}$ và công sai $d =  - {9 \over {20}}.$

Số hạng tổng quát : ${a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}$ và ${b_n} =  - {1 \over 5} - {a_1} - \left( {n - 1} \right) \times {9 \over {20}}$.