Advertisements (Quảng cáo)
Trong mặt phẳng tọa độ, trên parabol \(y = {x^2}\) lấy dãy các điểm \(({A_n})\) và \(({B_n})\) sao cho điểm \({A_1}\) có hoành độ dương và với mỗi số nguyên dương n, đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \( – {1 \over 5}\) và đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}.\) (h.3.2).
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \({a_n}\) và \({b_n}\) tương ứng với hoành độ của \({A_n}\) và \({B_n}\).
Chứng minh rằng các dãy số \(({a_n})\) và\(({b_n})\) là các cấp số cộng. Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của mỗi cấp số cộng đó.
Với mỗi \(n \ge 1,\) do \({A_n}\) và \({B_n}\) nằm trên parabol \(y = {x^2}\) nên \({A_n} = \left( {{a_n};a_n^2} \right)\) và \({B_n} = \left( {{b_n};b_n^2} \right)\). Từ đó:
– Do đường thẳng \({A_n}{B_n}\) có hệ số góc bằng \(- {1 \over 5}\) nên \({a_n} + {b_n} = – {1 \over 5}\) với mọi \(n \ge 1;\)
– Do đường thẳng \({B_n}{A_{n + 1}}\) có hệ số góc bằng \({1 \over 4}\) nên \({a_{n + 1}} + {b_n} = {1 \over 4}\) với mọi \(n \ge 1;\)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra với mọi \(n \ge 1,\) ta có
\({a_{n + 1}} – {a_n} = {9 \over {20}}\) và \({b_{n + 1}} – {b_n} = – {9 \over {20}}.\)
Vì thế
– Dãy số \(({a_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({a_1}\) và công sai \(d = {9 \over {20}};\)
– Dãy số \(({b_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({b_1} = – {1 \over 5} – {a_1}\) và công sai \(d = – {9 \over {20}}.\)
Số hạng tổng quát : \({a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) \times {9 \over {20}}\) và \({b_n} = – {1 \over 5} – {a_1} – \left( {n – 1} \right) \times {9 \over {20}}\).