Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 3.74 trang 97 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Cho...

Câu 3.74 trang 97 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Cho dãy số...

Cho dãy số. Câu 3.74 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Ôn tập chương III - Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi 

             \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi \(n \ge 1.\)

Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\) bằng \({u_{N + 1}} - {u_1}.\)

b) Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

a) Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Ta sẽ chứng minh

              \({S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Advertisements (Quảng cáo)

Với mọi \(N \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(N = 1\) , ta có \({S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\) Như vậy, (1) đúng khi \(N = 1.\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(N = k,k \in {N^ * },\) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(N = k + 1.\)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta có

\({S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left( {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right) + \left( {{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right)\, \)

\(= {u_{k + 2}} - {u_1}.\)

Từ các chứng minmh trên suy ra (1) đúng với mọi \(N \ge 1.\)

b) Từ định nghĩa dãy số \(({v_n})\) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\), ta có \({v_n} = n\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_{n + 1}} - {v_n} = \left( {n + 1} \right) - n\, = 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 1.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)