Câu 7 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao: Viết phương trình ảnh của mỗi đường thẳng sau đây qua phép tịnh tiến...

7. Trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến T theo vecto $\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)$.

a) Viết phương trình ảnh của mỗi đường thẳng sau đây qua phép tịnh tiến T.

i) Đường thẳng a có phương trình $3x - 5y + 1 = 0$.

ii) Đường thẳng b có phương trình $2x + y + 100 = 0$

b) Viết phương trình ảnh của đường tròn ${x^2} + {y^2} - 4x + y - 1 = 0$ qua phép tịnh tiến T.

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T là $\left\{ \matrix{ x’ = x + 1 \hfill \cr y’ = y - 2 \hfill \cr} \right.$ suy ra: $x = x’ - 1,\,y = y’ + 2.$

a) i) Nếu M(x;y) nằm trên đường thẳng a thì $3x - 5y+1 = 0$

hay $3\left( {x’ - 1} \right) - 5\left( {y’ + 2} \right) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 3x’ - 5y’ - 12 = 0$. Điều đó chứng tỏ điểm  thỏa mãn phương trình $3x - 5y - 12 = 0$. Đó là phương trình ảnh của đường thẳng a.

ii) Đường thẳng b có vecto chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)$ nên phép tịnh tiến T biến b thành chính nó. Vậy ảnh của b cũng có phương trình $2x + y + 100 = 0$.

b) Nếu $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên đường tròn đã cho thì

$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} - 4x + y - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x’ - 1} \right)^2} + {\left( {y’ + 2} \right)^2} - 4\left( {x’ - 1} \right) \cr&\;\;\;\;\;+ \left( {y’ + 2} \right) - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow x{‘^2} + y{‘^2} - 6x’ + 5y’ + 10 = 0 \cr}$

Như vậy điểm M'(x’;y’) thỏa mãn phương trình ${x^2} + {y^2} - 6x + 5y + 10 = 0$. Đó là phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho.